2的三次方+4的三次方+6的三次方+…+98的三次方+100的三次方(保留2位有效数字)

Question

2的三次方+4的三次方+6的三次方+…+98的三次方+100的三次方(保留2位有效数字)

Answer 1

2^3 + 4^3 + 6^3 + …… + 98^3 + 100^3
=(2*1)^3 + (2*2)^3 + (2*3)^3 + …… + (2*49)^3 + (2*50)^3
=2^3 * (1^3 + 2^3 + 3^3 + …… + 49^3 + 50^3)
因此,问题转化成求连续整数的立方和
要推导求连续整数的立方和的公式,必须先推导出求连续整数的平方和的公式.
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1. 求连续整数的平方和的公式的推导：
∵(x+1)^3 = x^3 + 3 x^2 + 3x + 1
∴(x+1)^3 - x^3 = 3 x^2 + 3x + 1
可得：
2^3 - 1^3 = 3*1^2 + 3*1 + 1
3^3 - 2^3 = 3*2^2 + 3*2 + 1
4^3 - 3^3 = 3*3^2 + 3*3 + 1
……
n^3 - (n-1)^3 = 3*(n-1)^2 + 3(n-1) + 1
(n+1)^3 - n^3 = 3 n^2 + 3n + 1
将上面的n个等式相加,得下面的等式：
(n+1)^3 - 1^3 = 3*(1^2 + 2^2 + 3^2 + …… + (n-1)^2 + n^2) + 3*(1 + 2 + 3 + …… + (n-1) + n) + n
移项得：
3*(1^2 + 2^2 + 3^2 + …… + (n-1)^2 + n^2) = (n+1)^3 - 1^3 - 3*(1 + 2 + 3 + …… + (n-1) + n) - n
整理一下,运用高斯求和公式；
3*(1^2 + 2^2 + 3^2 + …… + (n-1)^2 + n^2) = n^3 + 3 n^2 + 3n + 1 - 1 - 3*(1+n)*n/2 - n
3*(1^2 + 2^2 + 3^2 + …… + (n-1)^2 + n^2) = n^3 + 3 n^2 + 2n - 3/2 n - 3/2 n^2
3*(1^2 + 2^2 + 3^2 + …… + (n-1)^2 + n^2) = n^3 + 3/2 n^2 + 1/2 n
1^2 + 2^2 + 3^2 + …… + (n-1)^2 + n^2 = 1/3 (n^3 + 3/2 n^2 + 1/2 n)
1^2 + 2^2 + 3^2 + …… + (n-1)^2 + n^2 = 1/6 (2 n^3 + 3 n^2 + n)
∵2 n^3 + 3 n^2 + n = n(2 n^2 + 3n + 1)
运用十字相乘又有：2 n^2 + 3n + 1 = (n+1)(2n+1)
∴1^2 + 2^2 + 3^2 + …… + (n-1)^2 + n^2 = 1/6 n(n+1)(2n+1)
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2. 求连续整数的立方和的公式的推导：
推导的方法相同：
∵(x+1)^4 = x^4 + 4 x^3 + 6 x^2 + 4x + 1
∴(x+1)^4 - x^4 = 4 x^3 + 6 x^2 + 4x + 1
可得：
2^4 - 1^4 = 4*1^3 + 6*1^2 + 4*1 + 1
3^4 - 2^4 = 4*2^3 + 6*2^2 + 4*2 + 1
4^4 - 3^4 = 4*3^3 + 6*3^2 + 4*3 + 1
……
n^4 - (n-1)^4 = 4*(n-1)^3 + 6*(n-1)^2 + 4*(n-1) + 1
(n+1)^4 - n^4 = 4*n^3 + 6*n^2 + 4n + 1
将上面的n个等式相加,得下面的等式：
(n+1)^4 - 1^4 = 4*(1^3 + 2^3 + 3^3 + …… + (n-1)^3 + n^3) + 6*(1^2 + 2^2 + 3^2 + …… + (n-1)^2 + n^2) + 4*(1 + 2 + 3 + …… + (n-1) + n) + n
移项得：
4*(1^3 + 2^3 + 3^3 + …… + (n-1)^3 + n^3) = (n+1)^4 - 1^4 - 6*(1^2 + 2^2 + 3^2 + …… + (n-1)^2 + n^2) - 4*(1 + 2 + 3 + …… + (n-1) + n) - n
整理一下：
4*(1^3 + 2^3 + 3^3 + …… + (n-1)^3 + n^3) = n^4 + 4 n^3 + 6 n^2 + 4n + 1 - 1 - 6*(1^2 + 2^2 + 3^2 + …… + (n-1)^2 + n^2) - 4*(1+n)*n/2 - n
4*(1^3 + 2^3 + 3^3 + …… + (n-1)^3 + n^3) = n^4 + 4 n^3 + 6 n^2 + 4n - 6*(1^2 + 2^2 + 3^2 + …… + (n-1)^2 + n^2) - 2n - 2 n^2 - n
4*(1^3 + 2^3 + 3^3 + …… + (n-1)^3 + n^3) = n^4 + 4 n^3 + 4 n^2 + n - 6*(1^2 + 2^2 + 3^2 + …… + (n-1)^2 + n^2)
因此,
1^3 + 2^3 + 3^3 + …… + (n-1)^3 + n^3 = 1/4 (n^4 + 4 n^3 + 4 n^2 + n - 6*(1^2 + 2^2 + 3^2 + …… + (n-1)^2 + n^2))
把上面推导的求连续整数的平方和的公式用进来；
1^3 + 2^3 + 3^3 + …… + (n-1)^3 + n^3 = 1/4 (n^4 + 4 n^3 + 4 n^2 + n - n(n+1)(2n+1))
1^3 + 2^3 + 3^3 + …… + (n-1)^3 + n^3 = 1/4 (n^4 + 4 n^3 + 4 n^2 + n - 2 n^3 - 3 n^2 - n)
1^3 + 2^3 + 3^3 + …… + (n-1)^3 + n^3 = 1/4 (n^4 + 2 n^3 + n^2)
∵n^4 + 2 n^3 + n^2 = n^2 (n^2 + 2n + 1) = n^2 (n+1)^2
∴1^3 + 2^3 + 3^3 + …… + (n-1)^3 + n^3 = 1/4 n^2 (n+1)^2
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推导完毕（其实用这种方法可以推导连续整数的无限次的方和）,现在代公式就好：
原式
= 2^3 * (1^3 + 2^3 + 3^3 + …… + 49^3 + 50^3)
= 8 * 1/4 * 50^2 * (50+1)^2
= 2 * 50^2 * 51^2
= 13005000
≈ 1.3 * 10^7