已知直线L过点P(2,1)且与x,y轴的正半轴分别交于点A,B,求：1、当│OA││OB│最小时L的方程

Answer 1

解法1.设此直线方程为x/a+y/b=1,（a,b都是正数）
直线过p(2,1),2/a+1/b=1,得b=a/（a-2）,a≠2,
设t=│OA││OB│=a*b=a*a/（a-2）,即t=a²/（a-2）,
因为a≠2,所以a²-ta+2t=0,a是实数,
⊿=t²-8t≥0,因为t＞0,可得S≥8.
即t的最小值是8,
此时有a=4,b=2,
直线L方程为x/4+y/2=1,即x+2y-4=0.
解法2.设此直线方程为 y-1=k(x-2）,k＜0.
得A（（2k-1）/k,0）,B（0,-（2k-1））,
t=│OA││OB│=| （2k-1）/k*【-（2k-1）】|
=| （4k²+1-4k）/k|
=| 4k+1/k-4|,
因为k＜0,-4k-1/k＞0,
由均值不等式,-4k-1/k≥2√（-4k）（-1/k）=4,
4k+/k-4≤ -8,t≤ |-8|=8,
当且仅当-4k=-1/k,即k=-1/2 （k＜0）时t有最小值8.
故直线方程为 y-1=-1/2(x-2）,
即x+2y-4=0.