如图1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°．△EDF绕着边AB的中点D旋转，DE，DF分别交线段AC于点M，K．（1）观察：①如图2、图3，当∠CDF=0°或60°时，AM+CKMK（填“>”，“<”或

Question

如图1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°．△EDF绕着边AB的中点D旋转，DE，DF分别交线段AC于点M，K．

（1）观察：①如图2、图3，当∠CDF=0°或60°时，AM+CK ___ MK（填“>”，“<”或“=”）；
②如图4，当∠CDF=30°时，AM+CK ___ MK（只填“>”或“<”）；
（2）猜想：如图1，当0°<∠CDF<60°时，AM+CK ___ MK，证明你所得到的结论；
（3）如果MK²+CK²=AM²，请直接写出∠CDF的度数和(MK)/(AM)的值．

Answer 1

（1）①在Rt△ABC中，D是AB的中点，
∴AD=BD=CD=(1)/(2)AB，∠B=∠BDC=60°
又∵∠A=30°，
∴∠ACD=60°-30°=30°，
又∵∠CDE=60°，或∠CDF=60°时，
∴∠CKD=90°，
∴在△CDA中，AM（K）=CM（K），即AM（K）=KM（C）（等腰三角形底边上的垂线与中线重合），
∵CK=0，或AM=0，
∴AM+CK=MK；（2分）
②由①，得
∠ACD=30°，∠CDB=60°，
又∵∠A=30°，∠CDF=30°，∠EDF=60°，
∴∠ADM=30°，
∴AM=MD，CK=KD，
∴AM+CK=MD+KD，
∴在△MKD中，AM+CK>MK（两边之和大于第三边）．（2分）
（2）>（2分）
证明：作点C关于FD的对称点G，
连接GK，GM，GD，
则CD=GD，GK=CK，∠GDK=∠CDK，
∵D是AB的中点，∴AD=CD，
∴GD=AD．∠DAC=∠DCA=30°，
∴∠CDA=120°，
∵∠EDF=60°，∴∠GDM+∠GDK=60°，
∠ADM+∠CDK=60°．
∴∠ADM=∠GDM，（3分）
∵DM=DM，
∴

AD=DG

∠ADM=∠GDM

DM=DM

∴△ADM≌△GDM，（SAS）
∴GM=AM．
∵GM+GK>MK，∴AM+CK>MK．（1分）
（3）由（2），得GM=AM，GK=CK，
∵MK²+CK²=AM²，
∴MK²+GK²=GM²，
∴∠GKM=90°，
又∵点C关于FD的对称点G，
∴∠CKG=90°，∠FKC=(1)/(2)∠CKG=45°，
又由（1），得∠A=∠ACD=30°，
∴∠FKC=∠CDF+∠ACD，
∴∠CDF=∠FKC-∠ACD=15°，
在Rt△GKM中，∠MGK=∠DGK+∠MGD=∠A+∠ACD=60°，
∴∠GMK=30°，
∴(MK)/(GM)=(√(3))/(2)，
∴(MK)/(AM)=(√(3))/(2)
综上可得：∠CDF的度数为15°，(MK)/(AM)的值为(√(3))/(2)．