已知四棱锥S-ABCD，底面为正方形，SA⊥底面ABCD，AB=AS=a，M，N分别为AB，AS中点．（1）求证：BC⊥平面SAB；（2）求证：MN∥平面SAD；（3）求四棱锥S-ABCD的表面积．

Question

已知四棱锥S-ABCD，底面为正方形，SA⊥底面ABCD，AB=AS=a，
M，N分别为AB，AS中点．
（1）求证：BC⊥平面SAB；
（2）求证：MN∥平面SAD；
（3）求四棱锥S-ABCD的表面积．

Answer 1

（1）证明：∵SA⊥底面ABCD，∴SA⊥AB，SA⊥AD，SA⊥BC，
又∵BC⊥AB，SA∩AB=A，
∴BC⊥平面SAB；
（2）证明：取SD中点P，连接MN、NP、PA，
则NP=(1)/(2)CD，且NP∥CD，
又∵AM=(1)/(2)CD，且AM∥CD，
∴NP=AM，NP∥AM，
∴AMNP是平行四边形，
∴MN∥AP，
∵AP⊂平面SAD，MN⊄平面SAD
∴MN∥平面SAD；
（3）∵BC⊥平面SAB，
∴BC⊥SB，
同理，CD⊥SD，
∴△SAB≌△SAD，△SBC≌△SCD，
又∵SB=√(2)a，
∴S_表面积=2S_△SAB+2S_△SBC+S_ABCD
=2×(1)/(2)a2+2×(1)/(2)a•√(2)a+a2=(2+√(2))a2．