一个大于等于5质数平方后减1一定能被24整除对吗?答案是有时可能,不知道是什么时候不能?那个不能时候的质数是多少?

Question

一个大于等于5质数平方后减1一定能被24整除对吗?
答案是有时可能,不知道是什么时候不能?那个不能时候的质数是多少?

Answer 1

答案是错误的!
任何大于等于5的质数的平方减1都是24的倍数
证明：
设p是大于等于5的质数,由于大于等于5的质数一定是奇数,故存在整数k,使得p=2k+1,p^2=(2k+1)^2=4k(k+1)+1.
相邻两个整数k,(k+1)必有一个偶数,故p^2-1=4k(k+1)必能被8整除,另一方面,
相邻三个整数(p-1),p,(p+1)必有一个能被3整除,由于p是质数不能被3整除,故(p-1),(p+1)之一必有一个能被3整除,即p^2-1能被3整除,于是p^2-1能被24整除,即p的平方减1是24的倍数.