求逆矩阵1）.若A是n阶方阵且满足A^2=A,且矩阵A+E可逆,则（A+E)^-1=?答案是-1/2(A-2E).请问是怎么求出来的呢?2).设A,B,A+B,A^-1+B^-1均为n阶可逆矩阵,则(A^-1+B^-1)^-1=?答案是A[(A+B)^-1]B.请问啊,上面的两个答

Question

求逆矩阵
1）.若A是n阶方阵且满足A^2=A,且矩阵A+E可逆,则（A+E)^-1=?
答案是-1/2(A-2E).请问是怎么求出来的呢?
2).设A,B,A+B,A^-1+B^-1均为n阶可逆矩阵,则(A^-1+B^-1)^-1=?
答案是A[(A+B)^-1]B.
请问啊,上面的两个答案是怎么求的?

Answer 1

51 分钟前 WskTuuYtyh| 十二级
1）.若A是n阶方阵且满足A^2=A,且矩阵A+E可逆,则（A+E)^-1=?
答案是-1/2(A-2E).请问是怎么求出来的呢?
以下用AA表示A^2.
由已知,(A+E)(A-2E)=AA-A-2E=-2E,因A+E可逆,
故A-2E=(A+E)^-1*(-2),于是 (A+E)^-1=-(A-2E)/2
2).设A,B,A+B,A^-1+B^-1均为n阶可逆矩阵,则(A^-1+B^-1)^-1=?
答案是A[(A+B)^-1]B.
A^-1*(A^-1+B^-1)^-1*B^-1
=(B(A^-1+B^-1)A) ^-1
=(BA^-1+E)A)^-1
=(B+A)^-1
=(A+B)^-1
于是
(A^-1+B^-1)^-1=A * (A+B)^-1 *B.
注意：此题中,A,B的位置具有对称性.因此,交换A,B得到的式子也是正确的：
(A^-1+B^-1)^-1=(B^-1+A^-1)^-1＝B * (A+B)^-1 *A