请问,如何用二次方程思想来求函数y=(x^2-2x+6)/(x+1),(x≥0)的最小值.均值不等式和导数的解法都知道,但书上又提到该函数的最小值也可以用二次方程的判别式来求.该利用二次方程怎样求解?

Question

请问,如何用二次方程思想来求函数y=(x^2-2x+6)/(x+1),(x≥0)的最小值.
均值不等式和导数的解法都知道,但书上又提到该函数的最小值也可以用二次方程的判别式来求.该利用二次方程怎样求解?

Answer 1

均值不等式和导数的解法就不说了：
y=(x^2-2x+6)/(x+1)=((x-1)^2+5)/(x+1),在x≥0时,函数值y是大于0的
而：x^2-2x+6=yx+y,即：x^2-(y+2)x+6-y=0,需判别式△≥0才有意义
即：(y+2)^2-4(6-y)=y^2+8y-20=(y-2)(y+10)≥0,即：y≥2或y≤-10(不合题意,舍去)
故：y≥2,即：y的最小值是2