三角形ABC的顶点为B（-1,0）,C（2,0）若角ABC=角ACB的一半,求顶点A的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线

Question

三角形ABC的顶点为B（-1,0）,C（2,0）若角ABC=角ACB的一半,求顶点A的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线

Answer 1

设A点的坐标为(x,y),∠ABC=a,∠ACB=2a
则：kBA=tana=y/（x+1） （1）
kCA=tan（180°-2a）=y/（x-2),
即-tan2a=y/（x-2),
-2tana/（1-tan²a）=y/（x-2),（2）
把（1）代人（2）
-2[y/（x+1]/{1-[y/（x+1)]²}=y/（x-2),
整理得3x²-y²=3
即 x²-y²/3=1
又由于三角形ABC中,∠ABC＜∠ACB,AB＞AC
所以,
顶点A的轨迹是双曲线的右半支,且不包含与x轴交点（1,0）
其轨迹方程为x²-y²/3=1,（x＞1）