如图，在Rt△AOB中，∠OAB=π6，斜边AB=4，D是AB中点，现将Rt△AOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上一点，且∠BOC=90°，（1）求圆锥的侧面积；（2）求直线CD与平面BOC

Question

如图，在Rt△AOB中，∠OAB=(π)/(6)，斜边AB=4，D是AB中点，现将Rt△AOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上一点，且∠BOC=90°，

（1）求圆锥的侧面积；
（2）求直线CD与平面BOC所成的角的正弦值．

Answer 1

（1）∵在Rt△AOB中，∠OAB=(π)/(6)，斜边AB=4，D是AB中点，
将Rt△AOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上一点，且∠BOC=90°，
∴圆锥的侧面积S_侧=πrl=2×4×π=8π．

（2）取OB的中点E，连结DE、CE，
则DE∥AO，∴DE⊥平面BOC，
∴∠DCE是直线CD与平面BOC所成的角，
在Rt△DEC中，CE=√(5)，DE=√(3)，
tan∠DCE=(√(3))/(√(5))=(√(15))/(5)，
∴∠DCE=arctan(√(15))/(5)．
∴直线CD与平面BOC所成角的大小为arctan(√(15))/(5)．