任意一元三次方程是否至少有一个实数解?如何证明?

Question

任意一元三次方程是否至少有一个实数解?如何证明?

Answer 1

补充：由于是用手机发的,我就短说,三次方程的根可能是3个相等实根,可能是3个相等虚根,可能是1个实根2个虚根,可能是2个虚根1个实根.补充：由于是用手机发的,我就短说,三次方程的根可能是3个相等实根,可能是1个实根2个虚根,可能是2个虚根1个实根.追问：额,我想了一下,如果把这个一元三次方程设为ax^3+bx^2+cx+d=0(a不等于0）的话,(1)当d不等于0时,可化为ax^2+bx+c=-d/x,令y1=ax^2+bx+c,y2=-d/x,分别做出图像,则他们的交点的横坐标即为这个方程的解.因为一个是抛物线,一个是双曲线,是否可以确定他们至少有一个交点?（2）当d=0时,很明显有一实根x=0.那么现在需要证明的就是一条抛物线和一个双曲线至少有一个交点,这是不是很明显的事?回答：聪明,从理论上来说,可以这么证.比如,二次函数为偶函数,而双曲线为奇函数.你可以画下图像,简单判断一下.追问：那他们有交点应该怎么证明呢?回答：你可以画图试下.或者就用反证法：假设存在一个三次方程使得它的根全为虚根.^3=-1因此与原假设矛盾,故假设不成立,故对于所有的三次方程至少有一个实根