设r、s、t是三次方程8X³+1001X+2008=0的三个根,则(r+s)³+(s+t)³+(t+r)³的值为需要一元三次方程的一般解法。有没有像一元二次方程那样的，比如三个根的和或者积和系数有什么关系

Question

设r、s、t是三次方程8X³+1001X+2008=0的三个根,则(r+s)³+(s+t)³+(t+r)³的值为___
需要一元三次方程的一般解法。
有没有像一元二次方程那样的，比如三个根的和或者积和系数有什么关系。
如果这类题有什么巧法也通告一下吧
都晾了一星期了！

Answer 1

r、s、t是三次方程8X³+1001X+2008=0的三个根
方程可以写成 8(x-r)(x-s)(x-t)=0
展开 即 8x³-8(r+s+t)x²+8(rs+rt+st)x-8rst=0
对比 8X³+1001X+2008=0
得 r+s+t=0 8(rs+rt+st)=1001 -8rst=2008 得 rst=-251
根据公式 a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)
所以 (r+s)³+(s+t)³+(t+r)³=(r+s+s+t+t+r)[(r+s)²+(s+t)²+(t+r)²-(r+s)(s+t)-(s+t)(t+r)-(t+r)(r+s)]
+3(r+s)(s+t)(t+r)
=0+3(-t)(-r)(-s)
=-3trs
=753