选修4-4：坐标系与参数方程把参数方程x=1-t2t2+1y=4tt2+1（t是参数）化为普通方程，并说明它表示什么曲线．

Question

选修4-4：坐标系与参数方程
把参数方程

x=(1-t2)/(t2 +1)

y=(4t)/(t2 +1)

（t是参数）化为普通方程，并说明它表示什么曲线．

Answer 1

法一：由x= (1- t2)/(t2 +1) ，得x=-1+ (2)/(t2 +1) ，即 (2)/(t2 +1) =x+1  ①，又 (4t)/(t2 +1) =y  ②，
②÷①得：t= (y)/(2(x+1))  ③，（3分）
将③代入①得 x+1= (2)/(((y)/(2(x+1)))2 +1) ，
整理得：x ² + (y2)/(4) =1．   …（6分）
因为t ² +1≥1，所以x=-1+ (2)/(t2 +1) ∈（-1，1]，
所求普通方程为x ² + (y2)/(4) =1 （x≠-1）．…（8分）
法二：由x= (1- t2)/(t2 +1) ，①，
y= (4t)/(t2 +1) ②，
① ² +（ (②)/(2) ） ² 得x ² + (y2)/(4) =1．   …（6分）
因为t ² +1≥1，所以x=-1+ (2)/(t2 +1) ∈（-1，1]，
所求普通方程为x ² + (y2)/(4) =1 （x≠-1）．…（8分）