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递推公式求通项公式an+1=an^2/(2an-2)递推公式求通项公式a(n+1)=an^2/(2an-2)
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答案和解析
当a1 = 0时,用数学归纳法 易证 an = 0;
当1 > a1 > 0(不等于0) 或 a1 < 0时,易证 a2 < 0,再由数学归纳法易证an < 0
当a1 > 1时,a(n+1) = an + 1 + 1/[2(an - 1)] = 2 + (an - 1) + 1/(2an-2)
由数学归纳法易证 an > 1
综上所述 当a1 不等于0 或1,an均不会等于0或1
因此 an 不等于0
当an 0时
根据不动点可得
a(n+1) = (an)^2 /(2an - 2) (1)
a(n+1) - 2 = (an - 2)^2 /(2an - 2) (2)
因为 an 不等于 0
所以(2)/(1)存在,
(2)/(1)得
(a(n+1) - 2) / a(n+1) = (an - 2)^2 / an^2
令bn = (an - 2) /an
则b(n+1) = bn ^2 = b1 ^ (2 ^ n)
(a(n) - 2) / a(n) = bn = b1 ^ (2 ^ (n-1))
an = 2/(1- b1 ^(2^(n-1))),其中 b1 = (a1 - 2) / a1
综上所述 a1 = 1 时,an不存在
a1 = 0,时an = 0,
否则an = 2/(1- b1 ^(2^(n-1))),其中 b1 = (a1 - 2) / a1
当1 > a1 > 0(不等于0) 或 a1 < 0时,易证 a2 < 0,再由数学归纳法易证an < 0
当a1 > 1时,a(n+1) = an + 1 + 1/[2(an - 1)] = 2 + (an - 1) + 1/(2an-2)
由数学归纳法易证 an > 1
综上所述 当a1 不等于0 或1,an均不会等于0或1
因此 an 不等于0
当an 0时
根据不动点可得
a(n+1) = (an)^2 /(2an - 2) (1)
a(n+1) - 2 = (an - 2)^2 /(2an - 2) (2)
因为 an 不等于 0
所以(2)/(1)存在,
(2)/(1)得
(a(n+1) - 2) / a(n+1) = (an - 2)^2 / an^2
令bn = (an - 2) /an
则b(n+1) = bn ^2 = b1 ^ (2 ^ n)
(a(n) - 2) / a(n) = bn = b1 ^ (2 ^ (n-1))
an = 2/(1- b1 ^(2^(n-1))),其中 b1 = (a1 - 2) / a1
综上所述 a1 = 1 时,an不存在
a1 = 0,时an = 0,
否则an = 2/(1- b1 ^(2^(n-1))),其中 b1 = (a1 - 2) / a1
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