已知函数f（x）=（1+ln（x+1））/x,g（x）=x-1-ln（x+1）（1）求证：函数y=g（x）在区间（2,3）上有唯一（1）求证：函数y=g（x）在区间（2,3）上有唯一的零点.（2）当x>0时,不等式xf（x）>kg′（x）

Answer 1

1、g'(x)=1-1/(x+1),g'(x)=0,x=0.故在x>0中g(x)为增函数.g(2)=1-ln3<0,g(3)=2-ln4>0,g(2)g(3)<0.故有唯一零点.
2、x>0时,有1+ln(x+1)>k(1-1/(x+1)),k0,故该点为极小值点（同样是最小值点）.该x满足：x=1+ln(x+1),带入不等式得k

黎约践踏2343 2014-12-01

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