关于曲线C：x12+y12=1，给出下列四个命题：①曲线C有且仅有一条对称轴；②曲线C的长度l满足l>2；③曲线C上的点到原点距离的最小值为24；④曲线C与两坐标轴所围成图形的面

Question

关于曲线C：x 

(1)/(2)+y (1)/(2)=1，给出下列四个命题：
①曲线C有且仅有一条对称轴；        
②曲线C的长度l满足l>√(2)；
③曲线C上的点到原点距离的最小值为(√(2))/(4)；
④曲线C与两坐标轴所围成图形的面积是(1)/(6)
上述命题中，真命题的个数是（　　）

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

Answer 1

对于①：将方程中的x换为y，y换为x，方程不变，
故该曲线C关于直线y=x对称，如下图所示：

故①正确；
对于②：根据曲线C：x (1)/(2)+y (1)/(2)=1，得
y=（√(x)-1）²，（0≤x≤1），
其中两个端点为A（0，1），B（1，0），
此时|AB|=√(2)，
因为该曲线为曲线，
∴曲线C的长度l满足l>√(2)；
故②正确；
对于③：设点P（x，y）为曲线C上任意一点，
则|OP|²=x²+y²
=x²+（√(x)-1）⁴，
=2x²+6x-4x(3)/(2)-4x(1)/(2)+1
∵x∈[0，1]，
∴|OP|的最小值为(√(2))/(4)，故③正确；
对于④：曲线C与两坐标轴所围成图形的面积设为S，则
S=

∫

1 0

（√(x)-1）²dx=

∫

1 0

（x-2√(x)+1）dx=(1)/(6)，
故④正确；
综上，①②③④都正确；
故选：A．