（2006•浦东新区模拟）已知曲线C：x2-y|y|=1（|x|≤4）．（1）画出曲线C的图象，（2）若直线l：y=kx-1与曲线C有两个公共点，求k的取值范围；（3）若P（0，p）（p＞0），Q为曲线C上的点，求|PQ|

Question

（2006•浦东新区模拟）已知曲线C：x²-y|y|=1（|x|≤4）．
（1）画出曲线C的图象，
（2）若直线l：y=kx-1与曲线C有两个公共点，求k的取值范围；
（3）若P（0，p）（p＞0），Q为曲线C上的点，求|PQ|的最小值．

Answer 1

（1）当y＞0时，x²-y²=1，
当y≤0时，x²+y²=1．如图所示．
（2）若l：y=kx-1与x²+y²=1（y≤0）有两个公共点，则k∈[-1，0）∪（0，1]．
若l：y=kx-1与x²-y²=1（y＞0）恰有一个公共点时，直线l：y=kx-1与曲线C也有两个公共点，
∴

y＝k x−1  

y＝√(x2−1)

⇒（1-k²）x²+2kx-2=0，
∴|k|＞1，△=4k²+8（1-k²）=8-4k²=0，
解得 k＝± √(2)．                      
∴k的取值范围是{ −√(2)}∪[ −1 ， 0 )∪( 0 ， 1 ]∪{ √(2)}．）
（3）当y≤0时，|PQ|²=x²+（y-p）²=1-2py+p²
由-1≤y≤0得，当y=0时| PQ |min＝√(1+p2)．
当y＞0时，|PQ|²=x²+（y-p）²=2y²-2py+p²+1=2 ( y−(1)/(2) p ) 2+(1)/(2) p2+1，
当y＝(1)/(2) p时| PQ |min＝√(1+(1)/(2)p2)．
由于√(1+p2)＞√(1+(1)/(2)p2)
∴|PQ|的最小值是√(1+(1)/(2)p2)．