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一个焦点为F1（0,根号50）的椭圆截直线Y=3X-2所得弦的中点横坐标为1/2,求椭圆方程
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一个焦点为F1（0,根号50）的椭圆截直线Y=3X-2所得弦的中点横坐标为1/2,求椭圆方程
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答案和解析
设:椭圆方程为:y²/a²+x²/b²=1, 椭圆截直线Y=3X-2所得弦为AB,
A(x1,y1), B(x2,y2),
则(x1+x2)/2=1/2……(3) (y1+y2)/2=-1/2……(4)
b²y1²+a²x1²=a²b²……(1), b²y2²+a²x2²=a²b²……(2),
(1)-(2):b²(y1+y2)(y1-y2)+a²(x1+x2)(x1-x2)=0……(5)
将(3),(4)代入(5):(y1-y2)/(x1-x2)=a²/b²
∵ 直线Y=3X-2的斜率=3, ∴a²/b²=3
又∵a²-b²=50===>3b²-b²=50===>b²=25===>a²=75
∴椭圆方程为:y²/75+x²/25=1
A(x1,y1), B(x2,y2),
则(x1+x2)/2=1/2……(3) (y1+y2)/2=-1/2……(4)
b²y1²+a²x1²=a²b²……(1), b²y2²+a²x2²=a²b²……(2),
(1)-(2):b²(y1+y2)(y1-y2)+a²(x1+x2)(x1-x2)=0……(5)
将(3),(4)代入(5):(y1-y2)/(x1-x2)=a²/b²
∵ 直线Y=3X-2的斜率=3, ∴a²/b²=3
又∵a²-b²=50===>3b²-b²=50===>b²=25===>a²=75
∴椭圆方程为:y²/75+x²/25=1
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