（2013•惠州一模）已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为B（0，-1），且其右焦点到直线x−y+22＝0的距离为3．（1）求椭圆方程；（2）设直线l过定点Q(0，32)，与椭圆交于两个不同

Question

（2013•惠州一模）已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为B（0，-1），且其右焦点到直线x−y+2√(2)＝0的距离为3．
（1）求椭圆方程；
（2）设直线l过定点Q(0，(3)/(2))，与椭圆交于两个不同的点M、N，且满足|BM|=|BN|．求直线l的方程．

Answer 1

解 （1）设椭圆方程为(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1(a＞b＞0)，则b=1．
设右焦点F（c，0）（c＞0），则由条件得3＝(|c−0+2√(2)|)/(√(2))，得c＝√(2)．
则a²=b²+c²=3，
∴椭圆方程为(x2)/(3)+y2＝1．
（2）若直线l斜率不存在时，直线l即为y轴，此时M，N为椭圆的上下顶点，|BN|=0，|BM|=2，不满足条件；
故可设直线l：y＝kx+(3)/(2)(k≠0)，与椭圆(x2)/(3)+y2＝1联立，消去y得：(1+3k2)x2+9kx+(15)/(4)＝0．
由△＝(9k)2−4(1+3k2)•(15)/(4)＞0，得k2＞(5)/(12)．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点P（x₀，y₀），
由韦达定理得x1+x2＝−(9k)/(1+3k2)，而y1+y2＝k(x1+x2)+3＝−(9k2)/(1+3作业帮用户2016-12-08举报问题解析（1）设椭圆方程为(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1(a＞b＞0)，易知b=1，设右焦点F（c，0），由条件得3＝(|c−0+2√(2)|)/(√(2))，可求得c值，根据a2=b2+c2，可得a值；（2）易判断直线l斜率不存在时不合题意，可设直线l：y＝kx+(3)/(2)(k≠0)，与椭圆方程联立消掉y得x的二次方程，则△＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点P（x0，y0），由|BN|=|BM|，则有BP⊥MN，所以kBP＝(y0+1)/(x0)=-(1)/(k)，由韦达定理及中点坐标公式可得关于k的方程，解出k后验证是否满足△＞0，从而可得直线l的方程；名师点评本题考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．考点点评：本题考查直线方程、椭圆方程及其位置关系，考查分类讨论思想，判别式、韦达定理是解决该类题目常用知识，要熟练掌握，属中档题．扫描下载二维码©2020 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)