(本小题满分13分)如图,点M()在椭圆(a>b>0)上,且点M到两焦点的距离之和为4.(1)求椭圆方程;(2)设与MO(O为坐标原点)垂直的直线交椭圆于A、B(A、B不重合)
(本小题满分13分)如图,点M( )在椭圆
(a>b>0)上,且点M到两焦点的距离之和为4.
(1)求椭圆方程;
(2)设与MO(O为坐标原点)垂直的直线交椭圆于A、B(A、B不重合),求 的取值范围.
分 析:
(1)先由已知得到a,在利用P点在椭圆上求出b,得到椭圆方程;(2)根据MO⊥AB,得到直线AB的斜率,利用直线AB与椭圆有两个公共点,得到AB在y轴上截距m的范围,然后将向量用截距表示,进而求出取值范围.试题
解析:
(1)由已知,2a=4,∴a=2又点M()在椭圆(a>b>0)上,∴,解得b2=2所求椭圆方程为.(2)kOM=,∴kAB=-设直线AB的方程为y=-x+m联立方程,消去y得13x2-4mx+2m2-4=0△=(4m)2-4×13(2m2-4)=8(12m2-13m2+26)>0∴m2<26设A(x1,y1),B(x2,y2)则x1+x2=,x1x2==x1x2+y1y2=7x1x2-m(x1+x2)+m2=结合0≤m2<26,可得的取值范围是[-)
考点:
椭圆标准方程,直线与椭圆位置关系,两直线垂直,平面向量数量积,范围
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