已知圆直线与圆相切，且交椭圆于两点，是椭圆的半焦距，，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）O为坐标原点，若求椭圆的方程；(Ⅲ)在（Ⅱ）的条件下，设椭圆的左右顶点分别为A

Question

已知圆 直线 与圆 相切，且交椭圆 于 两点， 是椭圆的半焦距， ，
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）O为坐标原点，若 求椭圆 的方程；
(Ⅲ) 在（Ⅱ）的条件下，设椭圆 的左右顶点分别为A，B，动点 ，直线AS，BS与直线 分别交于M,N两点，求线段MN的长度的最小值.

Answer 1

已知圆 直线 与圆 相切，且交椭圆 于 两点， 是椭圆的半焦距， ，
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）O为坐标原点，若 求椭圆 的方程；
(Ⅲ) 在（Ⅱ）的条件下，设椭圆 的左右顶点分别为A，B，动点 ，直线AS，BS与直线 分别交于M,N两点，求线段MN的长度的最小值.

（Ⅰ） ；（Ⅱ）椭圆 的方程为 ；(Ⅲ) .

试题分析：（Ⅰ）直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径.设圆的圆心为 半径分别为 ，直线的方程为 .若直线与圆相切，则圆心到直线的距离 ，将已知条件代入这个公式，即可得 的值.
(Ⅱ)将 代入得： 得关于 的二次方程.设 则 是这个方程的两个根.因为，所以 ，再结合韦达定理，可得一个含 的等式，与 联立解方程组即可求得 的值.
(Ⅲ)思路一、在（Ⅱ）的条件下，椭圆的方程为： ，动点 ，则将其代入椭圆方程，便得： ①.设 ， ，则 .两式相乘再利用①式可消去 得 ，再用重要不等式便可得线段MN的长度的最小值.
思路二、选定一个量作为变量，其余的量都用这个量来表示，最终用这个量表示出线段MN的长度.
那么选哪 一个量作为变量呢？显然直线AS的斜率存在，设为 且 ，然后用 表示出点 的坐标，从而表示出线段MN的长度.再用重要不等式便可得线段MN的长度的最小值.
试题解析：（Ⅰ）直线 与圆 相切,所以    4分
(Ⅱ) 将 代入得：
得:         ①
设

作业帮用户 2017-09-24 举报

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