正四面体棱长为a，求其内切球与外接球的表面积．

Question

正四面体棱长为a，求其内切球与外接球的表面积．

Answer 1

设正四面体的面BCD和面ACD的中心分别为O₁，O₂，连结AO₂与BO₁并延长，必交于CD的中点E，
又BE=(√(3))/(2)a，O₂E=(√(3))/(6)a，连接BO₂，在Rt△BO₂E中，BO₂=(√(6))/(3)，连结AO₁与BO₂交于O₃，
由Rt△AO₂O₃≌Rt△BO₁O₂，
∴O₃O₂=O₃O₁，O₃A=O₃B，
同理可证O₃C=O₃D=O₃A，O₃到另二面的距离也等O₃O₁，
∴O₃为四面体外接球与内接球的球心，由△BO₁O₃∽△BO₂E，
∴O₁O₃=(√(6))/(12)a，
∴R_外=(√(6))/(4)a，S_外=(3)/(2)πa2，r_内=(√(6))/(12)a，S_内=(1)/(6)πa2．