棱长为1的正四面体内切球的表面积为（）A．π6B．π4C．32πD．π3

Question

棱长为1的正四面体内切球的表面积为（　　）

A．(π)/(6)
B．(π)/(4)
C．(3)/(2)π
D．(π)/(3)

Answer 1

设正四面体S-ABCD如图所示，
可得它的内切球的球心0必定在高线SH上
延长AH交BC于点D，则D为BC的中点，连结SD则内切球切SD于点E，连结AO
∵H是正三角形ABC的中心
∴AH：HD=2：1
∵Rt△0AH∽Rt△DSH
∴(OA)/(OH)＝(DS)/(DH)=3，可得OA=30H=S0
因此，SH=4OH，可得内切球的半径OH=(1)/(4)SH
∵正四面体棱长为1
∴Rt△SHD中，SD=(√(3))/(2)，HD=(1)/(3)SD=(√(3))/(6)
可得SH=√(SD2−HD2)=(√(6))/(3)，得内切球的半径r=OH=(1)/(4)×(√(6))/(3)=(√(6))/(12)
因此正四面体内切球的表面积为S=4πr²=(π)/(6)
故选：A