已知X的概率密度函数.ksinxcosx,x∈[0,π/4],.f(x)=.0,其他,求(1).k,(2).E(X).正解：k=4,E(X)=1/2.

Question

已知X的概率密度函数.ksinxcosx,x∈[0,π/4],
.f(x)=
.0,其他,
求(1).k,(2).E(X).
正解：k=4,E(X)=1/2
.

Answer 1

由概率密度的积分为1
得F(x)=∫ksinxcosxdx|[0,π/4]=1
∫ksinxcosxdx=k/2∫2sinxcosxdx=k/4∫sin2xd2x=-k/4cos2x+c
F(x)=F(x)=∫ksinxcosxdx|[0,π/4]=1
=- k/4(cosπ/2-cos0)= k/4=1
k=4
再有期望的定义E(X)为对xf（x）在整个区间上积分
E(x)=∫4xsinxcosxdx|[0,π/4]
E(x)=∫4xsinxcosxdx=1/2∫2xsin2xd2x
=-1/2∫2xdcos2x=-1/2[2xcos2x-∫cos2xd2x][0,π/4]
=1/2sin2x[0,π/4]
=1/2
注意用分部积分公式