P为等腰直角三角形ABC斜边AB上任意一点,PE垂直于AC,PF垂直于BC,PG垂直于EF,延长GP使得PD=PC.求证：BC垂直于BD,且BC=BD

Question

P为等腰直角三角形ABC斜边AB上任意一点,PE垂直于AC,PF垂直于BC,PG垂直于EF,延长GP使得PD=PC.
求证：BC垂直于BD,且BC=BD

Answer 1

将三角形ABC沿AB边翻折,使C点落在D'点处.易证四边形ACBD'为正方形.
且由翻折知PD'=PC.
因为角CFP=角CBD'=90度,所以FP//BD'.
从而角FPG=角BD'G.易证角PEF=角PCF=角BD'G,所以角FPG=角PEF.
而角PEF+角PFE=90度,所以角FPG+角PFE=90度.所以D'G垂直EF.
而D'落在GP的延长线上,所以D'与D重合.
在正方形ACBD内可知BC垂直BD,BC=BD.
参考:
证明：因为PF⊥CB,
所以PH//AC,
所以/_FBP=/_A=45度.
又因为/_GPF+/_FPB+/_BPD=180度
所以/_GPF+/_BPD=135度
又因为PE⊥AC,
所以PE//CB,
所以/_APE=/_ABC=45度
又因为/_APE+/_EPC+/_CPB=135度
又因为PG⊥EF,
所以/_EPG=/_CPF,
所以/_EPC=/_GPF.
所以/_CPB=/_DPB.
又因为CP=DP,
BP=BP,
所以三角形CBP和三角形DPB全等,
所以/_DBP=/_CBP=45度,BC=BD
所以/_CBD=90度,
即BC⊥BD,
（PS:/_ 是 角 的意思）
参考:
可以作PM⊥DB.
∵ABC为等腰三角形
∴AC⊥BC,∠ABC ＝∠A=45度
∵PE⊥AC,PE⊥BC
∴EPCF为矩形
∴PC=EF,∠EPF=90度,EP=CF
∵∠EPG=∠DPM,∠PGE=∠PMD=90度
∴∠PEG=∠D
可证三角形PEF与DPM全等
∴EP=DN
∴CF=DM
∵∠ABV=45度
∴PF=FB
∴四边形PMFB为正方形
则DB⊥BC,BF=BM
∵BC=CF+BF,BD=BM+MD
∴BC=BD