若实数a、b、c满足a2＋b2＋c2＝9,求代数式[a－b]2＋[b－c]2＋[c－a]2的最大值

Question

若实数a、b、c满足a2＋b2＋c2＝9,求代数式[a－b]2＋[b－c]2＋[c－a]2的最大值

Answer 1

展开,得 (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 =2(a^2+b^2+c^2)-(2ab+2bc+2ca) =2(a^2+b^2+c^2)-[(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)] =3(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)^2 =27-(a+b+c)^2 要使上式取得最大值,就要使(a+b+c)^2最小,但(a+b+c)^2≥0,最小为0,所以 (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 ≤27 最大值为27. 注：最大值当a+b+c=0时取得