数列{an}中,前n项和与an的关系是an=2Sn^2/2Sn--1,证明{1/Sn}为等差数列,求数列{an}的通项公式

Question

数列{an}中,前n项和与an的关系是an=2Sn^2/2Sn--1,证明{1/Sn}为等差数列,求数列{an}的通项公式

Answer 1

令n=1得a1=2S1^2/(2S1-1)=2a1^2/(2a1-1)
解得a1=S1=0,同理求得a2=0
因此用数学归纳法可证an=0
你这道题是有点问题的,不过当Sn≠0时,可这样证{1/Sn}为等差数列：
n≥2时由an=Sn-S(n-1)得,其中n、n-1为下标
Sn-S(n-1)=2Sn^2/（2Sn-1）
去分母得2Sn^2-Sn-2SnS(n-1)+S(n-1)=2Sn^2
即-Sn-2SnS(n-1)+S(n-1)=0
两边同时除以SnS(n-1）得
1/Sn-1/S(n-1)=2
所以{1/Sn}为等差数列,公差为2
再根据
n≥2时,an=Sn-S(n-1)求得an
再对n=1时验证.