在三角形ABC中,角A,角B,∠C的对边分别为a,b,c,若a,b,c三边的倒数成等差数列,求证,∠B

Question

在三角形ABC中,角A,角B,∠C的对边分别为a,b,c,若a,b,c三边的倒数成等差数列,求证,∠B<90°

Answer 1

由已知得2/b=1/a+1/c
即b=2ac/(a+c)
因为a+c≥2√(ac)
所以b≤2ac/(2√(ac))=√(ac)
所以b^2≤√ac
从而a^2+c^2-b^2≥a^2+c^2-ac=(a-1/2*c)^2+3/4c^2≥0
所以cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac≥0
所以∠B<90°.