函数数列{fn（x）}满足f1（1）/根号下（1+x^2) f(n+1)(x)=f1[fn(x)]求f2,f3并用数学归纳法证明fn解析式

Question

函数数列{fn（x）}满足f1（1）/根号下（1+x^2) f(n+1)(x)=f1[fn(x)]求f2,f3
并用数学归纳法证明fn解析式

Answer 1

第一问,利用迭代.易知f1（x）=x/√（1+x^2）,代入fn+1（x)=f1[fn(x)],令n=1,得
f2（x）=f1（x）/√[1+（f1（x））^2],代入其解析式有f2（x）=x/√（1+2x^2).
同理求f3（x）=x/√（1+3x^2).
第二问,猜想fn（x）=x/√（1+nx^2).(由f2（x）,f3（x）解析式结构得到.
则,n=1时,其成立.
设n=k（k>=1)时,fk（x）=x/√（1+kx^2),则fk+1（x）=f1（fk（x））,代入前面的fk（x）,看解出的fk+1（x）的解析式是否是fk+1（x）=x/√（1+（k+1）x^2),(解出的结果必定是这个）
则棕上,对于n属于（正整数）,有fn（x）=x/√（1+nx^2)成立,命题得证.