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如图,三角形ABC在平面α外,AB∩α=P,BC∩α=Q,AC∩α=R,求证：P,Q,R三点共线.
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如图,三角形ABC在平面α外,AB∩α=P,BC∩α=Q,AC∩α=R,求证：P,Q,R三点共线.
▼优质解答
答案和解析
方法1：反证法：设PQR,不在一条直线上.
由于这三点是三角形三边与平面的的交集,则这三点必在这个平面内,且在三角形所在平面
说明三角形所在平面与α重叠,说明三角形ABC在α内,与已知“ΔABC在平面α外”矛盾,所以PQR不在一条直线上不成立,即三点共线.
方法2：有题设PQR在三角形三边上（或其延长线上）,则PQR在三角形所在平面上,又在平面α上,这两个平面的交集是一条直线.
PQR是三角形与平面α的交集,所以一定在前述的交集直线上.
由于这三点是三角形三边与平面的的交集,则这三点必在这个平面内,且在三角形所在平面
说明三角形所在平面与α重叠,说明三角形ABC在α内,与已知“ΔABC在平面α外”矛盾,所以PQR不在一条直线上不成立,即三点共线.
方法2：有题设PQR在三角形三边上（或其延长线上）,则PQR在三角形所在平面上,又在平面α上,这两个平面的交集是一条直线.
PQR是三角形与平面α的交集,所以一定在前述的交集直线上.
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