设A‘表示A的转置,那么AA’和A‘A的秩是相同的吗?怎么证明?

Question

设A‘表示A的转置,那么AA’和A‘A的秩是相同的吗?怎么证明?

Answer 1

当A是实矩阵时结论成立.
用齐次线性方程组同解的方法证明.

显然, AX=0 的解都是 A'AX=0 的解.
反之, 若X1是 A'AX=0的解
则 A'AX1=0
所以 X1'A'AX1=0
故 (AX1)'(AX1)=0
所以有 AX1=0
即 A'AX=0 的解是 AX=0 的解
故 AX=0 与 A'AX=0 同解
所以 r(A) = r(A'A).

同理有 r(A') = r((A')'A') = r(AA')而 r(A') = r(A)