设X1,X2分别关于X的一元二次方程ax^2+bx+c=0和-ax^2 + bx +c = 0的一个非零实数根,且x1=/x2,.设X1,X2分别关于X的一元二次方程ax^2+bx+c=0和-ax^2 + bx +c = 0的一个非零实数根,且x1=/x2,求证：a/2*x^2+bx+c=0必有一

Question

设X1,X2分别关于X的一元二次方程ax^2+bx+c=0和-ax^2 + bx +c = 0的一个非零实数根,且x1=/x2,.
设X1,X2分别关于X的一元二次方程ax^2+bx+c=0和-ax^2 + bx +c = 0的一个非零实数根,且x1=/x2,求证：a/2*x^2+bx+c=0必有一根在x1和x2之间

Answer 1

x1,x2分别是实数系方程 ax^2+bx+c=0和-ax^2+bx+c=0 的一个根,且x1(=\)x2, x1(=\)0,x2(=\)0
得a不等于0
有a(x1)^2+bx1+c=0 (1)
-a(x2)^2+bx2+c=0 (2)
设f(x)=a/2*x^2+bx+c
f(x1)f(x2)=[a/2*(x1)^2+bx1+c][a/2*(x2)^2+bx2+c] (3)
由（1）（2）得
bx1+c=-a(x1)^2
bx2+c=a(x2)^2
代入（3）得
f(x1)f(x2)=-a^2/4*(x1x2)^2<0 （4）
delta1=b^2-4ac>=0
delta2=b^2+4ac>=0
delta3=b^2-2ac
由这3式可知delta3>0
所以由（4）得证
a/2*x^2+bx+c=0必有一根在x1和x2之间