用综合法证明：设a＞0,b＞0且a+b=1,则则(a+1/a)^2+(b+1/b)^2≥25/2

Question

用综合法证明：设a＞0,b＞0且a+b=1,则则(a+1/a)^2+(b+1/b)^2≥25/2

Answer 1

由于a+b=1,a和b是相关的,所以当不等式成为等式的充要条件是a ,b的某种关系.
利用基本不等式a^2+b^2>=(a+b)^2/2>=2ab,
即a^2+b^2>=1/2>=2ab（等式的充要条件是a=b ）
(a+1/a)^2+(b+1/b)^2=(a^2+b^2)+(1/a^2+1/b^2)+4 (因为a^2+b^2>=1/2,1/2>=2ab)
>=1/2+2/ab+4>=1/2+2*4+4 (因为a^2+b^2>=1/2,1/2>=2ab)
>=25/2