定义：如果一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）有一根为1,则我们称之为“凤凰”方程.（1）下列方程中,是凤凰方程的有：①x^2+2x+1=0 ②2x^2-x-1=0 ③ 2013x^2-x-2012=0 ④ x^2=1（2）方程（a-b）x^2+（b-c）x+c-

Question

定义：如果一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）有一根为1,则我们称之为“凤凰”方程.
（1）下列方程中,是凤凰方程的有：
①x^2+2x+1=0 ②2x^2-x-1=0 ③ 2013x^2-x-2012=0 ④ x^2=1
（2）方程（a-b）x^2+（b-c）x+c-a=0（a,b,c为常数,且a≠b）是凤凰方程吗,请说明理由
（3）若方程（a-b）x^2+（b-c）x+c-a=0（a,b,c为常数,且a≠b）有两个相等的实数根,试探究a,b,c所满足的关系式

Answer 1

根据定义,有一根为1的方程称凤凰方程,故要判断一个一元二次方程是否是凤凰方程,可以把x=1代入方程,能使方程成立就是凤凰方程
对于第（1）题,把x＝1分别代入方程 ①x^2+2x+1=0 ②2x^2-x-1=0 ③ 2013x^2-x-2012=0 ④ x^2=1可知
对于①x=1不能使方程成立；对于②x=1能使方程成立；对于③x＝1能使方程成立；对于④x=1也能使方程成立.所以四个方程中,凤凰方程是②③④
（2）把x=1代入方程（a-b）x^2+（b-c）x+c-a=0,得到
左边＝(a-b)+(b-c)+(c-a)=0 =右边
故方程（a-b）x^2+（b-c）x+c-a=0是凤凰方程
（3）要使方程（a-b）x^2+（b-c）x+c-a=0有两相等实数根,则判别式
(b-c)^2 - 4 * (a-b) * (c-a) = 0
整理上式的左边得：（b+c-2a)^2=0
所以 2a = b + c