设A为n*n矩阵,证明:如果A^2=E,那么R(A+E)+R(A-E)=n

Question

设A为n*n矩阵,证明:如果A^2=E,那么R(A+E)+R(A-E)=n

Answer 1

首先确定 A的秩
由1=|E|=|A^2|=|A|×|A|
可知 |A|不等于0,因此A的秩为n.
A^2=E=> A^2-E=0=>(A-E)(A+E)=0
为方便计,记 B=A-E, C=A+E
则 BC=0, 且B+C=2A
由公式： r(B+C)≤r(B)+r(C) 知
n=r(2A)=r(B+C)≤r(B)+r(C).(1)
再由Sylvester公式：r(BC)≥r(B)+r(C)-n 知
0=r(BC)≥r(B)+r(C)-n, 因此有：
n≥r(B)+r(C).(2)
结合(1)(2) 得：
r(B)+r(C)=n,
即 r(A-E)+r(A+E)=n