设a、b为非零向量,且|b|=1,（a,b）夹角=60°,求lim(|a+xb|-|a|)/x （x趋向于0）

Question

设a、b为非零向量,且|b|=1,（a,b）夹角=60°,求lim(|a+xb|-|a|)/x （x趋向于0）

Answer 1

|a+xb| = √(|a|² + x²|b|² - 2x|a||b|cos120°) = √(|a|² + x²|b|² + x|a||b|)
所以,(|a+xb| - |a|)/x = (√(|a|² + x²|b|² + x|a||b|) - |a|)/x,分子有理化得 = (x|b|² + |a||b|)/(√(|a|² + x²|b|² + x|a||b|) + |a|)
当x→0时,分子→|a||b|,分母→2|a|,整个分式→|b|/2 = 1/2.
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这里要注意的就是a、b夹角60°时,把b的起点平移到a的终点做向量加法,张开的角度实际上是60°的补角120°,然后再用余弦定理算|a+xb|的长.我一开始疏忽了,跟你的答案差了个符号.