找一个函数对于整数自变量X1,X2,.,Xn,构造一个函数f(X1,X2,.,Xn),使得n个自变量中任何一个有小改变（例如增减1）时函数值都能有较大改变,并且自变量全都是在某个区间等概率出现时函数值也能

Question

找一个函数
对于整数自变量X1,X2,.,Xn,构造一个函数f(X1,X2,.,Xn),使得n个自变量中任何一个有小改变（例如增减1）时函数值都能有较大改变,并且自变量全都是在某个区间等概率出现时函数值也能在某个区间等概率分布.

Answer 1

所有关于min、max这种题都有一个固定的下手点,就是
U≤u→X[1]、X[2]…X[n]里面最大的都小于等于u→每个X[1]、X[2]…X[n]都小于等于u
每个都小就可以通过独立事件的概率
计算概率,所以U≤u的概率可以算出来,这就是U的
,再对u求导就是
,再乘以u求期望就算完了.
先看U的.F(u)（
）=P(U≤u)=P(X[1]≤u)×P(X[2]≤u)×…×P(X[n]≤u)只看u在0~1之间的
每个X[i]≤u的概率都是取0~u的取值概率,就是区间长度u除以总区间长1（因为是
）,等于u,所以F(u)=u^n（u的
）,求导得到f(u)（密度）=nu^(n-1)（注意u都是(0,1)上面的,其余地方概率都是0）
期望就把u乘上积分=∫(0到1)n u^n du=n/(n+1),U的就算完了.
再看V的.V是个最小的,还是仿照上面的思路算
F(v)=P(V≤v)=1-P(V>v)（就这里绕个弯,最小的数要转变为
）,然后V>v就说明X[i]里面最小的数大于v,也就是X[i]里面每个都大于v,每个大于v的概率也是v~1区间长度除以总的,等于(1-v)所以P(V>v)=(1-v)^n,F(v)=1-(1-v)^n求导得到f(v)=n(1-v)^(n-1)再乘以v求期望=∫(0到1)nv(1-v)^(n-1) dv可以算出,稍微有点麻烦,用分部积分把n(1-v)^(n-1)放到
里面去,变为
=v(1-v)^(n-1)|1,0 -∫(0到1)(1-v)^n dv=1/(n+1)这都是积分计算,楼主自己验算一下就可以.
总结一下,这类题目总之有一个核心思路,就是最小的大于某个数等价于所有的都大于这个数；最大的小于某个数等价于所有的都小于这个数.就想办法求分布函数,把事件往上面说的两方面凑,然后用概率
就能得到分布函数,最后求出密度函数.