已知抛物线y=ax²+bx+c经过O（0,0）,M（-5,0）,N（-4,-2）.（1）求抛物线的关系式,并写出抛物线的顶点坐标（这个我会 可以不回答）（2）若将抛物线向右平移n个单位（0＜n＜5）,平移时抛物线

Question

已知抛物线y=ax²+bx+c经过O（0,0）,M（-5,0）,N（-4,-2）.
（1）求抛物线的关系式,并写出抛物线的顶点坐标（这个我会 可以不回答）
（2）若将抛物线向右平移n个单位（0＜n＜5）,平移时抛物线与x轴交于A、C两点,A点在C点的左边,抛物线于y轴交于D点.当n为何值时,△ACD是直角三角形?
（3）若将最初的抛物线向上平移n个单位（n＞0）,平移时抛物线与x轴交于A、C两点,A点在C点的左边,当n为何值时,在抛物线上存在点P,使△PAC是等腰直角三角形,并求出点P的坐标.

Answer 1

（1）y=x²/2+5x/2,顶点坐标E(-5/2,-25/8)（解略）
（2）在原抛物线上任取一点F(x,x²/2+5x/2),
由抛物线性质知：只有FM⊥FN时,⊿FMO才可能是直角三角形.
令：Kfm·Kfn=-1,即：[(x²/2+5x/2-0) /(x+5)]·[(x²/2+5x/2-0)/x]=-1
解方程得：x1=-1,x2=-4,则：F1(-1,0),F2(-4,0)
抛物线向右平移n后,抛物线形状不变,抛物线上的点的y值不变,x值增加n.
抛物线与x轴的交点由M(-5,0)变成A(-5+n,0)、O(0,0)变成C(n,0)、F点变成D(0,y)点.
平移后,若△ACD是直角三角形,则：n=1或n=4
（3）由抛物线的对称性,只有：P为顶点,且A,C关于抛物线对称轴对称时（PA=PC）,△PAC才可能是等腰直角三角形.
在原抛物线上任取一对称点G1(-5/2+a,(-5/2+a)²/2+5(-5/2+a)/2),G2(-5/2-a,(-5/2-a)²/2+5(-5/2-a)/2),
令：Kg1e·Kg2e=-1,即：
[(-5/2+a)²/2+5(-5/2+a)/2-(-25/8)]/[(-5/2+a)-(-5/2)]}·{[(-5/2-a)²/2+5(-5/2-a)/2-(-25/8)]/[(-5/2-a)-(-5/2)]}=-1
解方程得：a=2,则：G1(-9/2,-9/8),G2(-1/2,-9/8)
抛物线向上平移n后,抛物线形状不变,抛物线上的点x值不变,y增加n
平移后,若△PAC是等腰直角三角形,即：顶点E变为P点、G2变为C(-1/2,0),G1变为A(-9/2,0)
则：n=9/8,Px=-1/2,Py=(-25/8)+(9/8)=-17/8,P点坐标为P(-1/2,-17/8)