联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．例：已知PA=PB，则点P为△ABC的准外心（如图1）．（1）如图2，CD为正三角形ABC的

Question

联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．例：已知PA=PB，则点P为△ABC的准外心（如图1）．
（1）如图2，CD为正三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD=(1)/(2)AB，求∠APB的度数．
（2）如图3，若△ABC为直角三角形，∠C=90°，AB=13，BC=5，准外心P在AC边上，试探究PA的长．

Answer 1

（1）①若PB=PC，连结PB，则∠PCB=∠PBC．
∵CD为等边三角形的高．∴AD=BD，∠PCB=30°，
∴∠PBD=∠PBC=30°，∴PD=(√(3))/(3)DB=(√(3))/(6)AB．
与已知PD=(1)/(2)AB矛盾，∴PB≠PC．
②若PA=PC，连结PA，则∠PCA=∠PAC．
∵CD为等边三角形的高．∴AD=BD，∠PCA=30°，
∴∠PAD=∠PAC=30°，∴PD=(√(3))/(3)DA=(√(3))/(6)AB．
与已知PD=(1)/(2)AB矛盾，∴PA≠PC．
③若PA=PB，由PD=(1)/(2)AB，得PD=BD，
∴∠BPD=45°，
故∠APB=90°；

（2）①若PB=PA，设PA=x，
∵∠C=90°，AB=13，BC=5，
∴AC=12，则CP=12-x，
∴x²=（12-x）²+5²，
∴解得：x=(169)/(24)，即PA=(169)/(24)．
②若PA=PC，则PA=6．
③若PC=PB，由图知，在Rt△PBC中，不可能，
故PA=(169)/(24)或6．