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如图所示,已知平行四边形ABCD中,AC的平行线MN交DA,DC的延长线于M,N,交AB,BC于P,Q.求证：QM=NP
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如图所示,已知平行四边形ABCD中,AC的平行线MN交DA,DC的延长线于M,N,交AB,BC于P,Q.求证：QM=NP
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答案和解析
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB∥CD,MD∥BC
∴∠AMP=∠MQB=∠CQN
∠APM=∠CNQ
∵MD∥BC,AC∥MN
∴四边形ANQC为平行四边形
∴AM＝CQ
在△AMP和△CQN中
∠APM=∠CNQ
∠AMP=∠CQN
AM=CQ
∴△AMP≌△CQN（AAS）
∴MP=QN
∴QM=PQ＋MP
=PQ＋QN=NP
∴AB∥CD,MD∥BC
∴∠AMP=∠MQB=∠CQN
∠APM=∠CNQ
∵MD∥BC,AC∥MN
∴四边形ANQC为平行四边形
∴AM＝CQ
在△AMP和△CQN中
∠APM=∠CNQ
∠AMP=∠CQN
AM=CQ
∴△AMP≌△CQN（AAS）
∴MP=QN
∴QM=PQ＋MP
=PQ＋QN=NP
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