如图,在梯形ABCD中,AB‖DC,点M,N分别为CD,AB的中点,且MN⊥AB,试问:梯形ABCD是等腰梯形吗?两种方式 都要写

Question

如图,在梯形ABCD中,AB‖DC,点M,N分别为CD,AB的中点,且MN⊥AB,试问:梯形ABCD是等腰梯形吗?
两种方式 都要写

Answer 1

方法一：
连结AM、BM.
∵AN＝BN、MN⊥AB,∴MN是AB的垂直平分线,∴AM＝BM,∴∠AMN＝∠BMN.
∵AB∥DC、MN⊥AB,∴MN⊥CD,结合证得的∠AMN＝∠BMN,得：∠AMD＝∠BMC.
由DM＝CM、AM＝BM、∠AMD＝∠BMC,得：△AMD≌△BMC,∴AD＝BC,
∴ABCD是等腰梯形.
方法二：
过C、D分别作AB的垂线,垂足分别是E、F.
∵FE∥DC、DF⊥FE、CE⊥FE、MN⊥FE,∴CMNE、DMNF都是矩形,
∴DF＝MN＝CE,DM＝FN、CM＝EN,而DM＝CM,∴FN＝EN,又AN＝BN,∴AF＝BE.
由DF＝CE、AF＝BE、∠DFA＝∠CEB＝90°,得：△ADF≌△BCE,∴AD＝BC,
∴ABCD是等腰梯形.