如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是正三角形,且与底面ABCD垂直,底面ABCD是边长为2的菱形,BAD=60°,N是PB中点,截面DAN交PC于M．（1）求证：MN∥平面PAD； （2）求证：PB⊥平面ADMN.

Question

如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是正三角形,且与底面ABCD垂直,底面ABCD是边长为2的菱形,BAD=60°,N是PB中点,截面DAN交PC于M．
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）求证：PB⊥平面ADMN.

Answer 1

证明：
（1）连接AC,AC与BD交于G,则面PAC∩面BDM=MG,
由PA∥平面BDM,可得PA∥MG（3分）
∵底面ABCD为菱形,∴G为AC的中点,
∴MG为△PAC的中位线．
因此M为PC的中点．（5分）
（2）取AD中点O,连接PO,BO．
∵△PAD是正三角形,∴PO⊥AD,又因为平面PAD⊥平面ABCD,
所以,PO⊥平面ABCD,（7分）
∵底面ABCD是菱形且∠BAD=60°,△ABD是正三角形,
∴AD⊥OB．
∴OA,OB,OP两两垂直,建立空间直角坐标系 {OA→,OB→,OP→}（7分）
则A（1,0,0）,B(0,3,0),D(-1,0,0),P(0,0,3)
∴ DP→=(1,0,3),AB→=(-1,3,0)
∴ DM→=12(DP→+DC→)=12(DP→+AB→)=(0,32,32)（9分）
BP→=(0,-3,3),CB→=DA→=（2,0,0）
∴ DM→•BP→=0-32+32=0,DM→•CB→=0+0+0=0
∴DM⊥BP,DM⊥CB（11分）
∴DM⊥平面PBC,又DM⊂平面ADM,
∴面ADM⊥面PBC（12分）