四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形,E、F分别是棱PD、PC上的点,且PE=2ED.呃,一道数学题……四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形,E、F分别是棱PD、PC上的点,且PE=2ED,求证:BF∥平面AEC的充要条件是点F为棱PC

Question

四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形,E、F分别是棱PD、PC上的点,且PE=2ED.呃,一道数学题……
四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形,E、F分别是棱PD、PC上的点,且PE=2ED,求证:BF∥平面AEC的充要条件是点F为棱PC的中点.
就是这样,我已经挠了脑袋一个晚上了……还没挠出来.

Answer 1

我来帮你一下,
1,已知F是PC中点,取PE中点M,连结MF,连结AC和BD交于O,连结OE,BM,
MF是△PEC中位线,MF//CE,
四边形ABCD是平行四边形,则对角线互平分,O是BD中点,PE=2DE,PM=EM=DE,
OE是△DBM中位线,
OE//BM,
BM∩MF=M,
OE∩CE=E,
∴平面MFB//平面CEO（平面AEC）,
BF∈平面MFB,
∴BF//平面AEC.
2、已知BF//平面AEC,
与前相同,取PE中点M,OE是△DMB中位线,OE//MB,
OE∈平面AEC,
故BM//平面AEC,
MB∩BF=B,
故平面BMF//平面AEC,
MF∈平面BMF,
故MF//平面AEC,
平面PDC∩平面AEC=EC,
故MF//CE,
在△PEC中.M是PE中点,MF//CE,故MF是△PEC中位线,
∴F是PC中点.