在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,点P在边AD上,连接BP,点A关于直线BP为对称点为A1（1）点A1落在BC边上,求AP的长（2）点A1落在PC边上,求AP的长（3）点A1到直线CD的距离等于A1B的长,求AP的长

Question

在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,点P在边AD上,连接BP,点A关于直线BP为对称点为A1
（1）点A1落在BC边上,求AP的长
（2）点A1落在PC边上,求AP的长
（3）点A1到直线CD的距离等于A1B的长,求AP的长

Answer 1

①∵点A1落在BC边上  ∴AB=A′B=2
        ∵AD‖BC,AA′⊥BP
        ∴ABA′P是正方形
        ∴AP=BA′=2
     ②∵点 A2落在P2C边上∴AB=A2B=2
       ∴∠P2A2A=∠P2AA2  , AP2=P2A2
       ∴设：AP=X, PD=Y
       ∴A2C=√（BC²-BA2²）=√5
       ∴X+Y=3```````````````````①
         Y²+2²=（X+√5）²````````````②
       解得：X=3-√5.Y=√5
      ∴AP=3-√5
     ③ 作A'E⊥BC 
      ∴AB=BA'=2,EC=2,BE=1
      ∴A'E=√3  ∴∠A′BE=60º,∠ABA′=30º
      ∴∠ABP=½∠ABA′=15º
     ∴在△ABP中  AP=tan15º*AB=4-2√3
     ∴AP=4-2√3