四边形ABCD是矩形,AP平分∠BAD,CD=CP,AP⊥CP.求证：①AD=AP；②BP⊥PD

Question

四边形ABCD是矩形,AP平分∠BAD,CD=CP,AP⊥CP.求证：①AD=AP；②BP⊥PD

Answer 1

证明：
①∵四边形ABCD是矩形
∴∠ADC=90º
∴∠1+∠ADP=90º
∵AP⊥CP
∴∠APC=90º
∴∠2+∠APD=90º
∵CD=CP
∴∠1=∠2
∴∠ADP=∠APD
∴AD=AP
②∵AP平分∠BAD
∴∠3=∠4=45º
∴⊿ABO为等腰直角三角形
∴AB=BO
∵∠COP=∠AOB=45º
∴⊿CPO为等腰直角三角形
∴PO=CP,∠PCO=45º
∵∠BOP=180º-∠AOB=135º
∠DCP=∠DCB+∠PCO=135º
∴∠BOP=∠DCP
又∵BO=AB=CD
PO=PC
∴⊿BOP≌⊿DCP（SAS）
∴∠BPO=∠DPC
∵∠APD+∠DPC=∠APC=90º
∴∠APD+∠BPO=∠BPD=90º
∴BP⊥PD