已知△ABC的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数列,则△ABC的面积是多少

Question

已知△ABC的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数列,则△ABC的面积是多少

Answer 1

三角形至多有一个钝角,因此120°内角对应边为三角形最大边,设最大边边长为a.由公差为4,三边长分别为a-8,a-4,a (a>8)
由余弦定理得
cos120°=[(a-8)²+(a-4)²-a²]/[2(a-8)(a-4)]
cos120°=-1/2代入,整理,得
a²-18a+56=0
(a-4)(a-14)=0
a=4(舍去)或a=14
a-8=14-8=6 a-4=14-4=10
S=(1/2)(a-8)(a-4)sin120°
=(1/2)×6×10×(√3/2)
=15√3