在△ABC中,∠A=120°（1）若三边长构成公差为4的等差数列,求△ABC的面积（2）已知AD是△ABC的中线,若向量AB×向量AC=-2,求|向量AD|的最小值

Question

在△ABC中,∠A=120°（1）若三边长构成公差为4的等差数列,求△ABC的面积
（2）已知AD是△ABC的中线,若向量AB×向量AC=-2,求|向量AD|的最小值

Answer 1

三边设为a,a-4,a-8,由余弦定理得 a=14
面积为1/2*6*10*根号3/2=15根号3
记AB=c,AC=b,BC=a
向量AD=1/2(向量AB+向量AC)
平方得,|AD|^2=1/4(|AB|^2+|AC|^2+2向量AB*向量AC)=1/4*(c^2+b^2-4)(*)
a^2=(向量BC)^2=(向量BA+向量AC)^2=c^2+b^2+2向量BA*向量AC=c^2+b^2+4
由余弦定理得,c^2+b^2-a^2=2bccos120°
上式代入得,bc=4
(*),|AD|^2=1/4*(c^2+b^2-4)>=1/4*(2bc-4)=1/4*4=1
最小值为1