已知向量a=(cos3x/2,sin3x/2),b=(cosx/2,-sinx/2),且x∈[-π/2,π/2].已知向量a=(cos3x/2,sin3x/2),b=(cosx/2,-sinx/2),且x∈[-π/2,π/2]（1）求证：（a-b）⊥（a+b）（2）|a+b|=1/3,求cosx的值

Question

已知向量a=(cos3x/2,sin3x/2),b=(cosx/2,-sinx/2),且x∈[-π/2,π/2].
已知向量a=(cos3x/2,sin3x/2),b=(cosx/2,-sinx/2),且x∈[-π/2,π/2]
（1）求证：（a-b）⊥（a+b）
（2）|a+b|=1/3,求cosx的值

Answer 1

楼上那种做法是错的,不能那样拆
（1）a-b=(cos3x/2-cosx/2,sin3x/2+sinx/2)
a+b=(cos3x/2+cosx/2,sin3x/2-sinx/2)
(a-b)·(a+b)=(cos3x/2-cosx/2)(cos3x/2+cosx/2)+(sin3x/2+sinx/2)(sin3x/2-sinx/2)=cos^2(3x/2)-cos^2(x/2)+sin^2(3x/2)-cos^2(x/2)=1-1=0
∴(a-b)⊥(a+b)
(2)√[(cos3x/2+cosx/2)^2+(sin3x/2-sinx/2)^2]=1/3
cos^2(3x/2)+2cos3x/2cosx/2+cos^2(x/2)+sin^2(3x/2)-2sin3x/2sinx/2+sin^2(x/2)=1/9(两边平方,左边拆开)
2+2cos3x/2cosx/2-2sin3x/2sinx/2=1/9
cos3x/2cosx/2-sin3x/2sinx/2=-17/18
cos(3x/2+x/2)=-17/18
cos2x=-17/18
cos2x=2cos^2(x)-1=-17/18
cosx=±1/6
∵x∈[-π/2,π/2]
∴cosx=1/6