已知向量a=(cos3x/2,sin3x/2),b=(cosx/2,-sinx/2),且x∈[π/2,π],①求a.b及|a+b|②求函数f（x）=a.b+|a+b|的最大值,并求使函数取得最大值时x的值ps：a.b都是向量!

Question

已知向量a=(cos3x/2,sin3x/2),b=(cosx/2,-sinx/2),且x∈[π/2,π],
①求a.b及|a+b|
②求函数f（x）=a.b+|a+b|的最大值,并求使函数取得最大值时x的值
ps：a.b都是向量!

Answer 1

1.ab=cos3x/2cosx/2-sin3x/2sinx/2=cos(3x/2+x/2)=cos2x=2cos²x-1
|a+b|²=a²+b²+2ab=cos²3x/2+sin²3x/2+cos²x/2+(-sinx/2)²+2(2cos²x-1)=4cos²x,
∴|a+b|=√(4cos²x)=-2cosx
2.f(x)=ab+|a+b|=2cos²x-1-2cosx=2(cosx-1/2)²-3/2
∵x∈[π/2,π],∴cosx∈[-1,0],∴cosx=-1时,值最大是3；cosx=0时,值最小是-1.
∴最大值是3,此时x=π；最小值是-1,此时x=π/2.