设P是椭圆x^2/4+y^2=1上的任意一点,O为坐标原点,F为椭圆的左焦点,点M满足设P是椭圆x^2/4+y^2=1上的任意一点,O为坐标原点,F为椭圆的左焦点,点M满足向量OM=1/2(向量OP+向量OF),则向量OM的模+向量MF的模

Question

设P是椭圆x^2/4+y^2=1上的任意一点,O为坐标原点,F为椭圆的左焦点,点M满足
设P是椭圆x^2/4+y^2=1上的任意一点,O为坐标原点,F为椭圆的左焦点,点M满足向量OM=1/2(向量OP+向量OF),则向量OM的模+向量MF的模=?

Answer 1

利用几何意义更容易一些：
点M满足向量OM=1/2(向量OP+向量OF),
所以M是MF的中点,|MF|=(1/2)|PF|
设右焦点为F1,连接PF1,则
O为F,F1的中点,所以
OM平行且等于MF1的一半,
|OM|=(1/2)|PF1|
向量OM的模+向量MF的模
=|OM|+|MF|
=(1/2)(|PF1|+|PF|)
=(1/2)(2a)=a
而a^2=4,a>0,a=2
所以
向量OM的模+向量MF的模=a=2.