求(x^(1+x))/((1+x)^x) - x/e 在x 正无穷大的极限,

Question

求(x^(1+x))/((1+x)^x) - x/e 在x 正无穷大的极限,

Answer 1

x^(1+x)/(1+x)^x= x^x/(1+x)^x * x = x/(1+1/x)^x
原式 = x [1/ (1+1/x)^x - 1/e ]
= x[e-(1+1/x)^x]/[e(1+1/x)^x]
=x[e-(1+1/x)^x]/e^2
=1/e^2 * [e-(1+t)^(1/t)] / t
=1/e^2 * [e - (e - (et)/2 + (11et^2)/24 - o(t^3)) ] / t
=1/e^2 * e/2
=1/2e
这里用到了 (1 + x)^(1/x)的展开式 (1 + x)^(1/x) = e - (e x)/2 + (11e x^2)/24 - .